TRIGONOMETRI
Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen
Sin α =
r
y
r y
Cosα =
r
x
α
x Tanα =
x
y
Hubungan Fungsi Trigonometri :
1. sin2 α + cos2 α = 1
2. tan α =
α
α
cos
sin
3. sec α =
cosα
1
4. cosec α =
sinα
1
5 . cotan α =
α
α
sin
cos
6. tan2 α + 1 = sec2α ⇒ sin2 α + cos2 α = 1
⇒
α
α
2
2
cos
sin +
α
α
2
2
cos
cos =
cos2α
1
⇒ tan2 α + 1 = sec2α bukti
SMA - 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
7. cot an2 α + 1 = cos ec2α ⇒ sin2 α + cos2 α = 1
⇒
α
α
2
2
sin
sin +
α
α
2
2
sin
cos =
sin2α
1
⇒
α
α
2
2
sin
sin +
α
α
2
2
sin
cos =
sin2α
1
⇒ 1 + cot an2 α = cosec2α bukti
Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :
1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B
2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B
3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B
4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B
5. tan (A + B) =
A B
A B
1 tan .tan
tan tan
−
+
6. tan (A - B) =
A B
A B
1 tan .tan
tan tan
+
−
Rumus-rumus Sudut Rangkap :
1. sin 2A = 2 sin A cosA
2. cos 2A = cos2A - sin2 A (ingat : sin2 A + cos2A = 1 ⇒ sin2 A = 1 - cos2A
⇒ cos2A = 1 - sin2 A)
kalau dimasukkan ke dalam rumus maka :
= 1 – 2 sin2 A ⇔ cos2A - sin2 A = (1- sin2 A) - sin2 A = 1 - sin2 A - sin2 A
= 1 - 2 sin2 A
= 2 cos2A – 1 ⇔ dengan cara yang sama bias dibuktikan
3. tan 2A = 1 (tan )2
2 tan
A
A
−
SMA - 3
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Rumus Jumlah Fungsi :
Perkalian jumlah/selisih
1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2. 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B)
3. 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)
4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B)
Jumlah/selisih perkalian
1. Sin A + sin B = 2 sin
2
1 (A + B) cos
2
1 (A –B)
2. Sin A - sin B = 2 cos
2
1 (A + B) sin
2
1 (A –B)
3. cos A + cos B = 2 cos
2
1 (A + B) cos
2
1 (A –B)
4. cos A - cos B = - 2 sin
2
1 (A + B) sin
2
1 (A –B)
Sudut-sudut istimewa :
α 00 300 450 600 900
Sin 0
2
1
2
1 2 2
1 3 1
Cos 1
2
1 3 2
1 2 2
1 0
Tan 0
3
1 3 1 3 ~
Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :
Kuadrant I
α
Kuadrant II
1800 - α
Kuadrant III
1800 + α
Kuadrant IV
3600 - α
Sin + + - -
Cos + - - +
Tan + - + -
SMA - 4
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Rumus-rumus Sudut :
• Sudut 1800 - α dan α (Kuadran kedua)
sin (1800 - α ) = sin α
cos (1800 - α ) = - cos α
tan (1800 - α ) = - tan α
cosec (1800 - α ) = cosecα
sec (1800 - α ) = - sec α
cotan (1800 - α ) = - cotan α
• Sudut 1800 + α dan α (Kuadran ketiga)
sin (1800 + α ) = - sin α
cos (1800 + α ) = - cos α
tan (1800 + α ) = tan α
cosec (1800 + α ) = - cosecα
sec (1800 + α ) = - sec α
cotan (1800 + α ) = cotan α
• Sudut 3600 - α dan α (Kuadran keempat)
sin (3600 - α ) = - sin α
cos (3600 - α ) = cos α
tan (3600 - α ) = - tan α
cosec (3600 - α ) = - cosecα
sec (3600 - α ) = sec α
cotan (3600 - α ) = - cotan α
• Sudut 3600 + α dan α (Kuadran pertama)
sin (3600 + α ) = sin α
cos (3600 + α ) = cos α
tan (3600 + α ) = tan α
cosec (3600 + α ) = cosecα
sec (3600 + α ) = sec α
cotan (3600 + α ) = cotan α
SMA - 5
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
• Sudut -α dan α
sin (-α ) = -sin α
cos (-α ) = cos α
tan (-α ) = -tan α
cosec (-α ) = -cosec α
sec (-α ) = sec α
cotan (-α ) = -cotan α
• Sudut ( 900 - α ) dan α (Kuadran pertama)
sin (900 - α ) = cos α
cos (900 - α ) = sin α
tan (900 - α ) = cotan α
cot (900 - α ) = tanα
sec (900 - α ) = cosec α
cosec (900 - α ) = sec α
• Sudut ( 900 + α ) dan α (Kuadran kedua)
sin (900 + α ) = cos α
cos (900 + α ) = -sin α
tan (900 + α ) = -cotan α
cot (900 + α ) = =tanα
sec (900 + α ) = -cosec α
cosec (900 + α ) = sec α
• Sudut ( 2700 - α ) dan α (Kuadran ketiga)
sin ( 2700 - α ) = -cos α
cos ( 2700 - α ) = -sin α
tan ( 2700 - α ) = cotan α
cot ( 2700 - α ) = tanα
sec ( 2700 - α ) = -cosec α
cosec ( 2700 - α ) = sec α
• Sudut ( 2700 + α ) dan α (Kuadran keempat)
sin ( 2700 + α ) = -cos α
cos ( 2700 + α ) = sin α
tan ( 2700 + α ) = -cotan α
SMA - 6
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
cot ( 2700 + α ) = -tanα
sec ( 2700 + α ) = cosec α
cosec ( 2700 + α ) = -sec α
• Sudut yang melebihi satu putaran penuh :
sin (k.3600 + α ) = sin α
cos (k.3600 + α ) = cos α
tan (k.3600 + α ) = tan α
cosec (k.3600 + α ) = cosecα
sec (k.3600 + α ) = sec α
cotan (k.3600 + α ) = cotan α
dengan k bilangan bulat
Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri
1. Persamaan
Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah :
* sin x = sin α , maka 1 x = α + k.3600
2 x = (1800 - α ) + k.3600
* cos x = cos α , maka 1,2 x = ± α + k.3600
* tan x = tan α , maka x = α + k. 1800
2. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat
diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti :
- Diagram garis bilangan
- Grafik fungsi trigonometri
SMA - 7
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Aturan sinus dan cosinus
C
b γ a
α β
A B
c
aturan sinus
sinα
a =
sinβ
b =
sinγ
c
Aturan cosinus
1. a2 = b2 + c2 - 2bc cos α
2. b2 = a2 + c2 - 2ac cos β
3. c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ
Luas Segitiga
Luas segitiga =
2
1 ab sin γ
=
2
1 ac sin β
=
2
1 bc sin α
Nilai Maksimum dan Minimum
1. Jika y = k cos (x + nπ ) dengan k > 0 maka
a. maksimum jika y = k dimana cos (x + nπ ) = 1 sehingga (x + nπ )= 0
b. minimum jika y = -k dimana cos (x + nπ ) = -1 sehingga (x + nπ )= π
SMA - 8
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
2. Jika y = k sin (x + nπ ) dengan k > 0 maka
a. maksimum jika y = k dimana sin (x + nπ ) = 1 sehingga (x + nπ )=
2
π
b. minimum jika y = -k dimana sin (x + nπ ) = -1 sehingga (x + nπ )=
2
3π
